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10.已知a、b∈R,a>b>e(其中e是自然对数的底数),求证:ba>ab.(提示:可考虑用分析法找思路)试题答案
分析 直接利用分析法的证明步骤,结合函数的单调性证明即可.
解答 证明:∵ba>0,ab>0,
∴要证:ba>ab
只要证:alnb>blna
只要证$\frac{lnb}{b}>\frac{lna}{a}$.(∵a>b>e)
取函数$f(\begin{array}{l}x\end{array})=\frac{lnx}{x}$,∵$f’(\begin{array}{l}x\end{array})=\frac{1-lnx}{x^2}$
∴当x>e时,$f’(\begin{array}{l}x\end{array})<0$,∴函数$f(\begin{array}{l}x\end{array})$在$(\begin{array}{l}{e,+∞}\end{array})$上是单调递减.
∴当a>b>e时,有$f(\begin{array}{l}b\end{array})>f(\begin{array}{l}a\end{array})$,
即$\frac{lnb}{b}>\frac{lna}{a}$.得证.
点评 本题考查不等式的证明,考查分析法的应用,考查分析问题解决问题的能力.