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9.己知函数f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时.求函数f(x)的值域.试题答案
分析 (1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(ωx+$\frac{π}{6}$),由题意和周期公式可得ω=2;
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$),由x∈[0,$\frac{π}{2}$]和不等式的性质可得三角函数的值域.
解答 解:(1)化简可得f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$(1-2sin2$\frac{ωx}{2}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$cosωx
=sin(ωx+$\frac{π}{6}$),由题意可得$\frac{2π}{ω}$=π,解得ω=2;
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$),
当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],
∴sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴函数f(x)的值域为:[-$\frac{1}{2}$,1].
点评 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和值域,属基础题.