2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷(三)

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15．过圆C：x²+y²=4上一动点M作x轴的垂线段MD，D为垂足．若$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$．
（1）求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线；
（2）设直线x=my+1与动点Q的轨迹交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′．试问：当m变化时，直线A′B与x轴的是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标；若不是，请说明理由．试题答案

分析 （1）设出M点的坐标，由$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$得到M的坐标，把M的坐标代入圆x²+y²=4整理得动点Q的轨迹方程．
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

解答 解：（1）设Q（x，y），由题意D（x，0），M（x，y₁）
∵$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵M（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，表示焦点在x轴上的椭圆．
（2）由直线x=my+1与动点Q的轨迹方程，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
经过点A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直线方程为$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
令y=0，则x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
∴当y=0时，x=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=4
这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．