2023全国100所名校单元测试示范卷数学卷

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13．如果实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{x-1≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y+1}{x}$的取值范围是[1，$\frac{5}{2}$]．试题答案

分析先画出满足条件的平面区域，结合z=$\frac{y+1}{x}$的几何意义，求出其范围即可．

解答解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$解得：A（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
而B（1，0），
z=$\frac{y+1}{x}$的几何意义表示过平面区域内的点和C（0，-1）的直线的斜率，
由K_AC=$\frac{\frac{2}{3}-（-1）}{\frac{2}{3}-0}$=$\frac{5}{2}$，K_BC=$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，
∴z=$\frac{y+1}{x}$的取值范围是[1，$\frac{5}{2}$]，
故答案为：[1，$\frac{5}{2}$]．