2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学十六

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12．已知抛物线E：y=2x²的焦点为F，E上有四点A，B，C，D满足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{0}$，则|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|+|$\overrightarrow{FD}$|=（　　）

试题答案

分析 根据抛物线的方程便可得出焦点坐标$F（0，\frac{1}{8}）$，准线方程为y=$-\frac{1}{8}$，可设A，B，C，D四点的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，从而由$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{0}$便可得到${y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}=\frac{1}{2}$，这样根据抛物线的定义即可求出$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{FD}|$的值．

解答 解：由抛物线y=2x²得，F（$0，\frac{1}{8}$），准线方程为y=-$\frac{1}{8}$；
设A，B，C，D四点的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，则：
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{0}$；
∴${y}_{1}-\frac{1}{8}+{y}_{2}-\frac{1}{8}+{y}_{3}-\frac{1}{8}+{y}_{4}-\frac{1}{8}=0$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}=\frac{1}{2}$；
∴$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{FD}|$=${y}_{1}+\frac{1}{8}+{y}_{2}+\frac{1}{8}+{y}_{3}+\frac{1}{8}+{y}_{4}+\frac{1}{8}=1$．
故选：D．

点评 考查抛物线的标准方程，由标准方程可以求出抛物线的焦点和准线方程，向量加法的坐标运算，以及抛物线的定义，根据抛物线定义将焦点到抛物线上的点的距离转化为求焦点到准线的距离．