2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学23

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11．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁的中点．
（1）求异面直线BE与CD₁所成角的余弦值．
（2）求EC₁与平面DCC₁D₁所成角的正弦值．试题答案

分析 （1）由已知得CD₁∥BA₁，从而∠A₁BE是异面直线BE与CD₁所成角，由此能求出异面直线BE与CD₁所成角的余弦值．
（2）取DD₁中点F，连结EF，则EF⊥平面DCC₁D₁，垂足为F，则∠EC₁F是EC₁与平面DCC₁D₁所成角，由此能求出EC₁与平面DCC₁D₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁的中点，
∴CD₁∥BA₁，∴∠A₁BE是异面直线BE与CD₁所成角，
设AA₁=2AB=2，则$BE=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，A₁E=1，${A}_{1}B=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠A₁BE=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{E}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}{2×{A}_{1}B×BE}$
=$\frac{5+2-1}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}$
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（2）取DD₁中点F，连结EF，则EF⊥平面DCC₁D₁，垂足为F，
则∠EC₁F是EC₁与平面DCC₁D₁所成角，
设AA₁=2AB=2，则EF=1，C₁F=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，C₁E=$\sqrt{E{F}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠EC₁F=$\frac{EF}{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴EC₁与平面DCC₁D₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．