2023全国100所名校单元测试示范卷-高三数学卷(七)-三角恒等变换(有答案)

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15．若A（4，y₁）、B、C（8，y₂）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的三点，它们关于右焦点的三条焦半径的长成等差数列，则B点的坐标是（6，±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．试题答案

分析 根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，将问题转化为A、B、C三点到右准线的距离成等差数列，表示出这三个距离，由等差关系转化成等式即可化简得到结论．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=12，b=3，c=3$\sqrt{15}$，右准线方程为x=$\frac{48}{\sqrt{15}}$，
设B的坐标为（m，n），
根据椭圆的定义，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，
由A、B、C和到右焦点的距离依次成等差数列，
可得A、B、C三点到右准线的距离成等差数列；
即$\frac{48}{\sqrt{15}}$-4+$\frac{48}{\sqrt{15}}$-8=2（$\frac{48}{\sqrt{15}}$-m），
解得m=6，由$\frac{{m}^{2}}{144}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，解得n=±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：（6，±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的应用，考查了椭圆的第二定义，以及等差数列的性质，考查转化思想，属于中档题．