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10．已知双曲线的两个焦点为F1（-$\sqrt{10}$，0）、F2（$\sqrt{10}$，0），M是此双曲线上的一点，且满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=0，则该双曲线的方程是（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-y2=1 | B． | x2-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 |
试题答案
分析 由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得MF1⊥MF2进一步求出$（|M{F}_{1}|-|M{F}_{2}|）^{2}=|M{F}_{1}{|}^{2}$$-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|+|M{F}_{2}{|}^{2}$=36，由此得到a=3，则该双曲线的方程可求．
解答 解：∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}⊥\overrightarrow{M{F}_{2}}$即MF1⊥MF2，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}=40$．
则$（|M{F}_{1}|-|M{F}_{2}|）^{2}=|M{F}_{1}{|}^{2}$$-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|+|M{F}_{2}{|}^{2}$=40-2×2=36．
∴|MF1|-|MF2|=6=2a．即a=3．
∵c=$\sqrt{10}$，∴b2=c2-a2=1．
则该双曲线的方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=1$．
故选：A．
点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查了双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用，是中档题．
