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2.已知函数f(x)=cosx•sin(x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当方程f(x)-4a=0在闭区间[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上有两个不同的根时,求实数a的取值范围.试题答案
分析 (1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期.
(2)由题意,函数f(x)的图象和直线y=4a在闭区间[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上有两个不同的交点,由于f(x)在[-$\frac{π}{4}$,-$\frac{π}{12}$]上是减函数,在[-$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{4}$]上是增函数,而f(-$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{4}$,f(-$\frac{π}{12}$)=-$\frac{1}{2}$,f($\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{4}$,可得4a>-$\frac{1}{2}$,且4a≤-$\frac{1}{4}$,求得a的范围.
解答 解:(1)由已知函数f(x)=cosx•sin(x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx($\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx)-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin(2x-$\frac{π}{3}$),
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π.
(2)当方程f(x)-4a=0在闭区间[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上有两个不同的根时,
等价于函数f(x)的图象和直线y=4a在闭区间[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上有两个不同的交点,
由于f(x)在[-$\frac{π}{4}$,-$\frac{π}{12}$]上是减函数,在[-$\frac{π}{12}$,$\frac{π}{4}$]上是增函数,而f(-$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{4}$,f(-$\frac{π}{12}$)=-$\frac{1}{2}$,f($\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{4}$,
故4a>-$\frac{1}{2}$,且4a≤-$\frac{1}{4}$,求得-$\frac{1}{8}$<a≤-$\frac{1}{16}$.
点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性,方程根的存在性以及个数判断,体现了转化的数学思想,属于中档题.