2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学答案卷一

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8.已知F1、C、D分别是椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左焦点、上顶点、右顶点,过坐标原点的直线交椭圆E于点A,B,|AF1|+|BF1|=4,$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过M(1,0)且斜率为$\frac{1}{2}$的直线1交椭圆E于P,Q两点,求△OPQ的面积.试题答案

分析 (1)运用椭圆的焦半径公式可得2a=4,即a=2,设出焦点和顶点的坐标,运用向量数量积的坐标表示解方程可得b=1,进而得到椭圆方程;
(2)求出直线l的方程,代入椭圆方程,消去x,解得y,再由△OPQ的面积为S△OMP+S△OMQ,运用三角形的面积公式可得.

解答 解:(1)由题意可设A(m,n),B(-m,-n),
由椭圆的焦半径公式可得|AF1|+|BF1|=4,
即为(a+em)+(a-em)=4,解得a=2,
又F1(-c,0),C(0,b),D(a,0),
$\overrightarrow{{F}_{1}C}$=(c,b),$\overrightarrow{CD}$=(a,-b),$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1.
即为ac-b2=2c-(4-c2)=2$\sqrt{3}$-1.
解得c=$\sqrt{3}$,b=1,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1;
(2)M(1,0)且斜率为$\frac{1}{2}$的直线1为y=$\frac{1}{2}$(x-1),
代入椭圆方程消去x,可得,8y2+4y-3=0,
解得y1=$\frac{-1+\sqrt{7}}{4}$,y2=$\frac{-1-\sqrt{7}}{4}$,
则△OPQ的面积为S△OMP+S△OMQ=$\frac{1}{2}$|OM|•|y1-y2|
=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$.

点评 本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的焦半径公式和向量的数量积的坐标表示,同时考查三角形的面积的求法,注意联立直线方程和椭圆方程,求得交点的坐标,属于中档题.

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