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15.己知双曲线和椭圆2x2+y2=8有公共焦点,求以它们交点为顶点的四边形面积最大时双曲线的方程.试题答案
分析 由题意设所求双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),知a2+b2=8-4=4,联立椭圆方程和双曲线的方程求得交点,求出长方形的面积,由基本不等式可得最大值,求得a,进而得到双曲线的方程.
解答 解:椭圆2x2+y2=8即为$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1,
由题意设所求双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),
由题设知a2+b2=8-4=4,
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{(4-{a}^{2}){y}^{2}-{a}^{2}{x}^{2}={a}^{2}(4-{a}^{2})}\end{array}\right.$,
解得交点的坐标满足x2=4-a2,y2=2a2,
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知,
以它们的交点为顶点的四边形是长方形,
其面积S=4|xy|=4$\sqrt{4-{a}^{2}}$•$\sqrt{2}$a≤4$\sqrt{2}$•$\frac{4-{a}^{2}+{a}^{2}}{2}$=8$\sqrt{2}$,
当且仅当4-a2=a2,即为a=$\sqrt{2}$时,取得最大值8$\sqrt{2}$,
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1.
点评 本题考查椭圆和双曲线的关系,求它们的交点的四边形的面积最大时双曲线的方程,考查基本不等式的运用,属于中档题.