2023全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(四)[23·G3DY·数学-必考(文科)-N]

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17．已知两个单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$），则单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{4}$．试题答案

分析 运用向量垂直的条件：数量积为0，再由向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求夹角．

解答 解：由$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$），可得
$\overrightarrow{{e}_{1}}$•（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=0，即有$\sqrt{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$²=1，
即$\sqrt{2}$•1•1•cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=1，
即为cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的模即为向量的平方，考查运算能力，属于基础题．