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8.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+3}}$(n∈N*),则a4=$\frac{1}{53}$.试题答案
分析 由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2,从而得到{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首项为2,公比为3的等比数列,由此能求出a4.
解答 解:∵数列{an}满足:a1=1,an+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+3}}$(n∈N*),
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+2,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=3(\frac{1}{{a}_{n}}+1)$,
又$\frac{1}{{a}_{1}}+1$=2,
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1=2×{3}^{n-1}$,
∴${a}_{n}=\frac{1}{2×{3}^{n-1}-1}$,
∴${a}_{4}=\frac{1}{2×{3}^{3}-1}$=$\frac{1}{53}$.
故答案为:$\frac{1}{53}$.
点评 本题考查数列的第4项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.