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3.P是△ABC内一点,△ACP,△BCP的面积分别记为S1,S2,已知$\overrightarrow{CP}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{CB}$,其中λ∈(0,1),则$\frac{S_1}{S_2}$=( )
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
试题答案
分析 可以得到$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}(3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$,而λ∈(0,1),从而可以作图:延长CA到D,使得CD=3CA,并连接BD,延长CP交于BD的中点E,根据三角形的面积公式便可得到,${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE},{S}_{2}=\frac{λ}{4}•{S}_{△BCE}$,这样便可求出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$.
解答 解:如图,延长CA到D,使CD=3CA,连接BD,延长CP交BD的中点E;
$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}(3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$,λ∈(0,1);
∴$CP=\frac{λ}{4}CE$;
∴${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE}$,${S}_{2}=\frac{λ}{4}{S}_{△BCE}$;
又S△CDE=S△BCE;
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{1}{3}$.
故选B.
点评 考查向量数乘的几何意义及其运算,向量加法的平行四边形法则,以及三角形的面积公式,相似三角形对应边的比例关系.