卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷二

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4．已知函数f（x）=x（x²-a）+$\frac{1}{x}$．
（1）证明：对任意a∈R，都有导函数f′（x）是偶函数；
（2）若g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{9}$lnx，且a＜0，讨论函数g（x）的零点个数．试题答案

分析 （1）先求导，再根据偶函数的定义证明即可，
（2）转化为x³-$\frac{1}{9}$lnx=ax，构造函数h（x）=x³-$\frac{1}{9}$lnx，利用导数求出函数的最小值，得到y=ax与y=h（x）没有交点，继而得到函数g（x）无零点．

解答 解：（1）证明：f（x）=x（x²-a）+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=3x²-a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（-x）=3（-x）²-a-$\frac{1}{（-x）^{2}}$=3x²-a-$\frac{1}{{x}^{2}}$=f′（x），
∵f′（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴对任意a∈R，都有导函数f′（x）是偶函数．
（2）g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{9}$lnx=x³-ax+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{9}$lnx=x³-ax-$\frac{1}{9}$lnx，x＞0
令g（x）=0，x³-$\frac{1}{9}$lnx=ax，
令h（x）=x³-$\frac{1}{9}$lnx，
∴h′（x）=3x²-$\frac{1}{9x}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{3}$，
当h′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{3}$时，函数h（x）单调递增，
当h′（x）＜0时，即0＜x＜$\frac{1}{3}$时，函数h（x）单调递减，
∴h（x）≥h（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{9}$ln3＞0，
而对于y=ax，a＜0，x＞0，
∴y＜0，
∴y=ax与y=h（x）没有交点，
∴g（x）没有零点．

点评 本题考查了函数的奇偶性，导数与函数中的最值关系，以及函数的零点和图象的交点的关系，属于中档题．