卷临天下2023年全国100所名校单元测试示范卷高三数学

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8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．试题答案

分析 （1）设抛物线的方程为x²=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的方程为x²=2py，
由焦点为F（0，1），可得$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
则抛物线的方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+1，代入x²=4y，得
x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
$|{x_1}-{x_2}|=4\sqrt{{k^2}+1}$，
由y=x-2和y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x联立，得${x_M}=\frac{8}{{4-{x_1}}}$，同理${x_N}=\frac{8}{{4-{x_2}}}$，
所以$|MN|=\sqrt{2}|{x_M}-{x_N}|$=$\frac{{8\sqrt{2}\sqrt{{k^2}+1}}}{|4k-3|}$，
令4k-3=t，t≠0，则$k=\frac{t+3}{4}$，
则$|MN|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{25}{t^2}+\frac{6}{t}+1}=2\sqrt{2}\sqrt{{{（\frac{5}{t}+\frac{3}{5}）}^2}+\frac{16}{25}}≥\frac{8}{5}\sqrt{2}$，
则所求范围为$[{\frac{8}{5}\sqrt{2}，+∞}）$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．