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9.设F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2$\sqrt{5}$.试题答案
分析 求得抛物线的焦点F,设出直线AB的方程,代入抛物线方程,运用韦达定理和中点坐标公式,再由弦长公式求得斜率,再由圆的弦长公式,可得所求值.
解答 解:y2=4x的焦点F(1,0),设直线AB:y=k(x-1),
代入抛物线的方程可得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
即有x1+x2=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$,即有中点的横坐标为1+$\frac{2}{{k}^{2}}$,
由抛物线的弦长公式可得,|AB|=x1+x2+p=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$+1=6,
解得k=$±\sqrt{2}$,
即有r=3,d=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$=2,
再由圆的弦长公式可得,
与y轴相交所得弦长是2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
故答案为:2$\sqrt{5}$.
点评 本题考查抛物线的方程和性质,主要是弦长公式的运用,同时考查圆的弦长公式,属于中档题.