卷临天下2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学九第九单元平面向量

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10．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\sqrt{2}$，当把f（x）的图象上的所有点向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后，得到图象对应的函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{7π}{6}$对称．
（1）求函数g（x）的解析式：
（2）在△ABC中．一个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知g（x）在y轴右侧的第一个零点为C，若c=4，求△ABC的面积S的最大值．试题答案

分析（1）由题意可得2sin（$\frac{π}{2}$ω）=$\sqrt{2}$，解得ω，利用平移变换规律可得g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$φ），利用正弦函数的对称性可得$\frac{1}{2}$（$\frac{7π}{6}$-φ）=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数g（x）的解析式．
（2）由题意可得2sin（$\frac{1}{2}$C-$\frac{π}{12}$）=0，解得$\frac{1}{2}$C-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，由题意可解得C，由余弦定理可得ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，利用三角形的面积公式即可得解．

解答解：（1）∵函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\sqrt{2}$，
∴2sin（$\frac{π}{2}$ω）=$\sqrt{2}$，解得ω=$\frac{1}{2}$，
把f（x）的图象上所有的点向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后，
得到的函数g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x-φ）]=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$φ），
∵函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{7π}{6}$对称，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{7π}{6}$-φ）=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=$\frac{π}{6}$-2kπ，k∈Z，
∴由0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$）]=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）．
（2）∵函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为C，
∴由2sin（$\frac{1}{2}$C-$\frac{π}{12}$）=0，解得$\frac{1}{2}$C-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，可得：C=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，令k=0，可得C=$\frac{π}{6}$．
∵c=4，
∴由余弦定理可得：16=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{3}$ab≥2ab-$\sqrt{3}$ab，解得：ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=8$+4\sqrt{3}$．
故△ABC的面积S的最大值为8$+4\sqrt{3}$．