卷临天下2023年全国一百所名校单元测试示范卷高三数学卷十二

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20．已知直线l：y=x-2与抛物线C：y²=x相交于A，B两点．
（I）求线段AB的长；
（Ⅱ）若抛物线C上一点P到准线的距离为$\frac{5}{4}$，求点P的坐标．试题答案

分析 （I）联立直线与抛物线方程，求出A，B两点坐标，代入两点之间距离公式，可得答案；
（Ⅱ）若抛物线C上一点P到准线的距离为$\frac{5}{4}$，则点P的横坐标x满足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，解得答案．

解答 解：（I）联立直线与抛物线方程得：$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$，
故线段AB的长为：$\sqrt{（4-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）若抛物线C上一点P到准线x=-$\frac{1}{4}$的距离为$\frac{5}{4}$，
则P点的横坐标x满足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
即x=1，则y=±1，
故P点的坐标为（1，1）或（1，-1）

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解题的关键．