数学2023届全国100所名校单元测试示范卷等比数列

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8．求椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的点到直线x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距离．试题答案

分析 设出与x-2y+4$\sqrt{2}$=0平行且与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切的直线方程为x-2y+m=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得m值，把椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的点到直线x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距离转化为椭圆的两条相切的平行线间的距离得答案．

解答 解：设与x-2y+4$\sqrt{2}$=0平行且与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切的直线方程为x-2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-16=0．
△=4m²-8（m²-16）=128-4m²=0，解得：m=$±4\sqrt{2}$．
∴直线x-2y+4$\sqrt{2}$=0与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切，
则椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的点到直线x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距离为d=$\frac{|4\sqrt{2}-（-4\sqrt{2}）|}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．

3.本题考查学生分析论点、论据与论证关系的能力。 材料一“研究城市,不是纯粹的研究城市的史地或经济,而是城与人的关系,兼及“历史”与‘文学”观点。 A.属于对城市的地理、经济方面的研究,不属于材料一主要表达的观点。B.属于对城市的地理、经济方面的研究,不属于材料一主要表达的观点。D.《边城》以川湘交界的边城小镇茶峒为背景,不属于城市,可知其不能支撑材料。故选C。