2023全国一百所名校单元测试示范卷数学卷三答案

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9．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，则|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范围是（　　）

试题答案

分析 可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（-2，0）到线段AB上点的距离，运用点到直线的距离公式可得最小值，和两点的距离公式可得最大值．即可得到所求范围．

解答 解：可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
即有$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=（x-1，y），$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$=（x，y-2），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，
可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为$\sqrt{5}$，
即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，
表示（-2，0）到线段AB上点的距离，
最小值是点（-2，0）到直线2x+y-2=0的距离|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|_min=$\frac{6}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
最大值为（-2，0）到（1，0）的距离是3，
所以|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范围是[$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，3]．
故选：D．

点评 本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．