卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷.高三.数学卷(十) 的答案

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15．已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．当1＜a＜2时，则函数f（x）极值点个数是（　　）

试题答案

分析 先判定该函数为偶函数，再通过运算得出x=0为函数的一个极值点，最后再判断函数在（0，$\frac{π}{2}$）有一个极值点．

解答 解：∵f（-x）=acos（-x）+（-x）sin（-x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）为偶函数，
又∵f’（x）=（1-a）sinx+xcosx，且f’（0）=0，——-①
所以，x=0为函数的一个极值点，
而f”（x）=（2-a）cosx-xsinx，a∈（2，3），
则f”（0）=2-a＞0，故函数f’（x）在x=0附近是单调递增的，
且f’（$\frac{π}{2}$）=1-a＜0，结合①，根据函数零点的判定定理，
必存在m∈（0，$\frac{π}{2}$）使得f’（m）=0成立，
显然，此时x=m就是函数f（x）的一个极值点，
再根据f（x）为偶函数，所以f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）也必有一个极值点，
综合以上分析得，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]共有三个极值，
故选C．

点评 本题主要考查了函数的极值，以及运用导数研究函数的单调性和函数零点的判定，属于中档题．