2023届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学答案

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2023届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学答案

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16.已知数列{an}的首项a1=$\frac{1}{4}$的等比数列,其前n项和Sn中S3=$\frac{3}{16}$,
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|an|,Tn=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$,求Tn.试题答案

分析 (Ⅰ)求出数列的公比,然后求解数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)化简bn=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|an|,利用裂项法求解Tn=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$,即可.

解答 解:(Ⅰ)若q=1,则${S_3}=\frac{3}{4}≠\frac{3}{16}$不符合题意,∴q≠1,…(1分)
当q≠1时,由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{{S_3}=\frac{{{a_1}(1-{q^3})}}{1-q}=\frac{3}{16}}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{4}}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$…(3分)
∴${a_n}=\frac{1}{4}•{(-\frac{1}{2})^{n-1}}={(-\frac{1}{2})^{n+1}}$…(5分)
(Ⅱ)∵${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}|{a_n}|={log_{\frac{1}{2}}}|{{{(-\frac{1}{2})}^{n+1}}}|=n+1$…(7分)
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…(8分)
∴Tn=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$…(10分)

点评 本题考查数列的通项公式的求法,裂项法求解前n项和的方法,是中档题.

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21.(根据后文“但高浓度的生长素反而抑制了侧芽的生长,使得侧枝长得较小”和“而越往下,从顶芽运输而来的生长素越少,对侧芽的生长抑制作用逐渐减弱”,可推断本句主语为“距离顶芽最近的侧芽”,宾语应为“多重生长素”,排除A、B两项;且C项不合逻辑,自身产生的生长素不需再从顶芽输送)

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